Question

如果對(duì)定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

．以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2

2

sin（x+

π

4

）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．