Question

試比較2ⁿ+2與n²的大�。╪∈Z⁺），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①易驗(yàn)證當(dāng)n=1、2、3時(shí)不等式成立，②假設(shè)n=k（k≥3，k∈N^*成立），利用該歸納假設(shè)，取推證當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，左端=4，右端=1，左端＞右端；
當(dāng)n=2時(shí)，左端=6，右端=4，左端＞右端；
當(dāng)n=3時(shí)，左端=10，右端=8，左端＞右端；
于是可猜測(cè)：2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．
證明：：①當(dāng)n=1、2、3時(shí)，均有左端＞右端，不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥3，k∈N^*）時(shí)不等式成立，即2^k+2＞k²；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=2^k+1+2=2×（2^k+2）-2＞2k²-2=k²+k²-2，
右邊=（k+1）²=k²+2k+1，
∵k²+k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0，
∴當(dāng)k≥3時(shí)，k²+k²-2≥（k+1）²，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
綜上所述，2ⁿ+2＞n²（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查變形、推理與論證的能力，屬于難題．