Question

5．已知關于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m沒有實數根，則m的取值范圍是m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1．

Answer 1

分析 設f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$和y=x+m，利用數形結合先求出方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m有實數根的取值范圍，即可得到結論．

解答 解：設f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$和y=x+m，
則f（x）的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓的上半部分，
作出函數f（x）的圖象如圖
當直線y=x+m經過點A（1，0）時，1+m=0，得m=-1，
當直線y=x+m在第二象限與圓相切時，m＞0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=1，得|m|=$\sqrt{2}$，即m=±$\sqrt{2}$，
∵m＞0，∴m=$\sqrt{2}$，
則方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=x+m有實數根，
則-1≤m≤$\sqrt{2}$，
則若方程沒有實數解，
則m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1，
故答案為：m＞$\sqrt{2}$，或m＜-1

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用數形結合進行轉化，先求出兩個函數有交點的取值范圍，然后進行轉化求解是解決本題的關鍵．