Question

求同時滿足下列兩個條件的復(fù)數(shù)Z；
（1）Z+

10

Z

是實(shí)數(shù)，且1＜Z+

10

Z

≤6；
（2）且Z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，且虛部不為零．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：設(shè)Z=a+bi（a，b∈R），可得Z+

10

Z

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，由于Z+

10

Z

是實(shí)數(shù)，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，且虛部不為零．可得b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．解出即可．

解答： 解：設(shè)Z=a+bi（a，b∈R），則Z+

10

Z

=a+bi+

10

a+bi

=a+bi+

10(a-bi)

(a+bi)(a-bi)

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，
∵Z+

10

Z

是實(shí)數(shù)，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，且虛部不為零．
∴b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．
解得

a=1 b=±3

或

a=3 b=±1

．
∴Z=1±3i或Z=3±i．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了計算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題．