Question

20．已知f （x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（4x+2）-5，x≥0\\ ln（2-4x）-5，x＜0\end{array}\right.$，若關(guān)于 x 的不等式f（ax-2）＞f（x-3）在[4，5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{4}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（ax-2）＞f（x-3）能成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得4ax-6＞4x-10，分類討論求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
由f（ax-2）＞f（x-3）在[4，5]上有解，
可得當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（ax-2）＞f（x-3）能成立，
即ln[4（ax-2）+2]-5＞ln[4（x-3）+2]-5
能成立，
即ln（4ax-6）＞ln（4x-10）能成立，
∴4ax-6＞4x-10，即（1-a）x＜1，
∴1-a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{（1-a）•4＜1}\\{（1-a）•5＜1}\end{array}\right.$，
求得a≥1，或 $\frac{4}{5}$＜a＜1，
故答案為：（$\frac{4}{5}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．