Question

10．設(shè)二次函數(shù)f（x）=mx²-nx（m≠0），已知f（x）的圖象的對稱軸為x=-1，且f（x）的圖象與直線y=x只有一個公共點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式e^f（x）＞${（\frac{1}{e}）}^{2-tx}$在x∈R時恒成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用對稱軸方程求得n=-2m；再利用條件求出m和n之間的另一關(guān)系式，聯(lián)立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用e＞1把原不等式轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{2}$x²+x＞tx-2在x∈R時恒成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），再分類討論，根據(jù)基本不等式即可求出t的范圍．

解答 解：（1）∵由f（x）=mx²-nx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1，
∴n=-2m；
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x只有一個公共點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}-nx}\\{y=x}\end{array}\right.$有且只有一解，
即mx²-（n+1）x=0有兩個相同的實根；
故△=（n+1）²=0，
解得n=-1，m=$\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵e＞1，不等式e^f（x）＞${（\frac{1}{e}）}^{2-tx}$在x∈R時恒成立
∴f（x）＞tx-2．
∵$\frac{1}{2}$x²+x＞tx-2在x∈R時恒成立，
∴tx＜$\frac{1}{2}$x²+x+2，
當(dāng)x＞0時，t＜$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{2}{x}}$+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，
∴t＜3，
當(dāng)x＜0，t＞$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$+1=-（-$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{x}$）+1≤-2+1=-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取等號，
∴t＞-1，
當(dāng)x=0時，恒成立，
綜上所述t的取值范圍為（-1，3）．

點評 本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)恒成立問題．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會與圖象的平移，對稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識有機的結(jié)合在一起．