Question

5．一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5；設(shè)編號(hào)為n的球重量為n²-6n+12； 這些球等可能地從袋中取出．
（1）任取1球，試求其重量大于編號(hào)的概率；
（2）不放回先后逐一取出2球，求他們質(zhì)量相等的概率．

Answer 1

分析 法一：（1）由n²-6n+12＞n，得n＜3或n＞4，再由n=1，2，3，4，5．得n可取1，2，5，共3種情況，由此能求出任取1球，其重量大于編號(hào)的概率．
（2）先后不放回取出2球，故2球的編號(hào)不相同，設(shè)編號(hào)為n₁，n₂（n₁≠n₂），利用列舉法能求出不放回先后取出2球，他們質(zhì)量相等的概率．
法二：（1）依題意可知編號(hào)為1的質(zhì)量為7，編號(hào)為2的質(zhì)量為4，編號(hào)為3的質(zhì)量為3，編號(hào)為4的質(zhì)量為4，編號(hào)為5的質(zhì)量為7，任取1球，其重量大于編號(hào)的有1號(hào)，2號(hào)，5號(hào)，共3種，由此能求出任取1球，其重量大于編號(hào)的概率．
（2）先后不放回取出2球，故2球的編號(hào)不相同，設(shè)編號(hào)為n₁，n₂（n₁≠n₂），利用列舉法能求出不放回先后取出2球，他們質(zhì)量相等的概率．

解答 解法一：（1）由n²-6n+12＞n，…．（2分）
可得n＜3或n＞4…．（4分）
由于n=1，2，3，4，5．所以n可取1，2，5，共3種情況．
故任取1球，其重量大于編號(hào)的概率${p_1}=\frac{3}{5}$…．（6分）
（2）因?yàn)橄群蟛环呕厝〕?球，故2球的編號(hào)不相同，設(shè)編號(hào)為n₁，n₂（n₁≠n₂）
取出的可能結(jié)果有20種，分別為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），…（10分）
由${n_1}^2-6{n_1}+12={n_2}^2-6{n_2}+12$
可得n₁+n₂=6…（12分）
從而滿足條件的可能為：（1，5），（2，4），（4，2），（5，1）共4種
∴不放回先后取出2球，他們質(zhì)量相等的概率${p_2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$．…（14分）
解法二：（1）依題意可知編號(hào)為1的質(zhì)量為7，編號(hào)為2的質(zhì)量為4，
編號(hào)為3的質(zhì)量為3，編號(hào)為4的質(zhì)量為4，編號(hào)為5的質(zhì)量為7；…..（4分）
任取1球，其重量大于編號(hào)的有1號(hào)，2號(hào)，5號(hào)，共3種，
故任取1球，其重量大于編號(hào)的概率${p_1}=\frac{3}{5}$．…．（6分）
（2）因?yàn)橄群蟛环呕厝〕?球，取出的可能有20種，分別為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），…（10分）
其中滿足條件的可能為：（1，5），（2，4），（4，2），（5，1），共4種
不放回先后取出2球，他們質(zhì)量相等的概率${p_2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．