Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax-$\frac{1}{x}$-a+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=$\frac{{（{a+1}）f（x）}}{x}$的圖象的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）轉(zhuǎn)化為不等式$（{a+1}）lnx+\frac{1}{x}-ax+a-1＜0$在（1，+∞）上恒成立．構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=xlnx，所以f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$，
因?yàn)楫?dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在$（{0，\frac{1}{e}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
（2）由當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)$y=\frac{{（{a+1}）f（x）}}{x}$的圖象的上方，
可得不等式$（{a+1}）lnx+\frac{1}{x}-ax+a-1＜0$在（1，+∞）上恒成立．
設(shè)$h（x）=（{a+1}）lnx+\frac{1}{x}-ax+a-1$，
則$h'（x）=\frac{a+1}{x}-\frac{1}{x^2}-a=\frac{{（{1-x}）（{ax-1}）}}{x^2}$
①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閔'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
又因?yàn)閔（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，總有h（x）＞0，不符合題意．
②當(dāng)a≥1時(shí)，因?yàn)閔'（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，所以h（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
又因?yàn)閔（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，總有h（x）＜0，符合題意．
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令h'（x）=0，解得$x=\frac{1}{a}$，h（x）在$[{1，\frac{1}{a}}]$上是增函數(shù)，在$[{\frac{1}{a}，+∞}）$上是減函數(shù)，
又因?yàn)閔（1）=0，所以當(dāng)$x∈（{1，\frac{1}{a}}）$時(shí)，總有h（x）＞0，不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．