Question

2．△ABC是以角C為直角的等腰直角三角形，AC=2，點(diǎn)H位于AB邊上，沿CH折疊△ABC，若折疊過(guò)程中始終有AB⊥CH，則三棱錐H-ABC的體積最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，依據(jù)折疊過(guò)程中始終有AB⊥CH，可得H為AB的中點(diǎn)，然后利用等積法求得使多面體HABC體積取最大值時(shí)A的位置，代入三棱錐體積公式求得答案．

解答 解：如圖，∵△ABC是以角C為直角的等腰直角三角形，且AC=2，
∴BC=2，AC=$2\sqrt{2}$，
又點(diǎn)H位于AB邊上，且沿CH折疊△ABC的過(guò)程中始終有AB⊥CH，
即CH⊥平面ABH，∴CH⊥AB，則H為AB的中點(diǎn)，
∵三棱錐H-ABC的體積等于三棱錐A-BCH的體積，
∴要使三棱錐H-ABC的體積最大，則需三棱錐A-BCH的高最大，
即當(dāng)AH⊥平面BCH時(shí)體積最大，
此時(shí)${S}_{△BCH}=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2=1$，AH=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$．
∴三棱錐H-ABC的體積最大值為$\frac{1}{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐體積的求法，關(guān)鍵是明確折疊問(wèn)題在折疊前后的變量與不變量，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．