Question

7．金融風暴對全球經(jīng)濟產(chǎn)生了影響，溫總理在廣東省調(diào)研時強調(diào)：在當前的經(jīng)濟形勢下，要大力扶持中小型企業(yè)，使中小型企業(yè)健康發(fā)展，為響應(yīng)這一精神，某銀行準備新設(shè)一種定期存、貸款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)側(cè)．存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），貸款利率為4.8%，且銀行吸收存款能全部放貸出去．
（1）若存款利率為x，x∈（0，0.048），試寫出存款量g（x）及銀行應(yīng)支付給儲戶的利息與存款利率x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）存款利率定為多少時，銀行可獲得最大收益？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法即可求出存款量g（x）及銀行應(yīng)支付給儲戶的利息與存款利率x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)銀行收益=貸款收益-存款利息，故可設(shè)出存款利率，將銀行收益表示為利率的函數(shù)y=0.048kx²-kx³，然后對函數(shù)進行求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)存款利息為x，則應(yīng)用x∈（0，0.048），
依題意：存款量g（x）=kx²，銀行應(yīng)支付的利息f（x）=kx³．
（2）貸款的收益是0.048kx²，則銀行的收益是y=0.048kx²-kx³．
由于y′=0.096kx-3kx²，令y′=0，得x=0.032或x=0（舍去），
又當0＜x＜0.032時，y′＞0；當0.032＜x＜0.048時，y′＜0，
所以當x=0.032時，y取得最大值，即當存款利率定為3.2%時，銀行可獲得最大利潤．

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．