Question

6．已知函數f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x₀是函數f（x）的一條對稱軸，且tanx₀=3，則點（a，b）所在的直線為（　　）

• A． x-3y=0
• B． x+3y=0
• C． 3x-y=0
• D． 3x+y=0

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數進行化簡，求出函數的對稱軸即可得到結論．

解答 解：f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$（$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$sinx+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$cosx），
令sinα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，則cosα=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，即tanα=$\frac{a}$，
則f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$cos（x-α），
由x-α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，
即函數的對稱軸為x=α+kπ，k∈Z，
∵x=x₀是函數f（x）的一條對稱軸，
∴x₀=α+kπ，則tanx₀=tanα=$\frac{a}$=3，即a=3b，
即a-3b=0，
則點（a，b）所在的直線為x-3y=0，
故選：A

點評 本題主要考查三角函數的化簡，以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．