Question

5．設(shè)f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．則f（1）的值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）e^x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）e^x，
則g′（x）=f′（x）e^x+f（x）e^x=e^x（f′（x）+f（x）），
∵f′（x）≥-f（x），∴f′（x）+f（x）≥0，
則g′（x）≥0，
則函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，
∵f（0）=1，f（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
∴g（0）=f（0）e⁰=1，
g（2）=f（2）e²=1，
則g（0）=g（2）=1，
∴函數(shù)g（x）是常數(shù)函數(shù)，
則g（x）=1，即g（1）=f（1）e=1，
則f（1）=$\frac{1}{e}$，
故答案為：$\frac{1}{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．