分析 (1)由已知可得c,再由離心率求得a,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),通過(guò)斜率計(jì)算可得x12+x22=4,分x1=x2、x1≠x2兩種情況討論,利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)論.
解答 解:(1)由題意,c=1,又e=ca=12,∴a=2.
則b2=a2-c2=4-1=3.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1;
(2)結(jié)論:四邊形PQP1Q1的面積為定值4√3.
理由如下:
由題意得:四條垂線的方程為:x=±2,y=±√3,
則A(2,√3),B(-2,√3),
∴kOA•kOB=-34.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y2x1x2=-34(*)
PQ=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.
∵點(diǎn)P、Q在橢圓C上,∴y12=3(1−x124),y22=3(1−x224),
將(*)式平方得:9x12x22=16y12y22=9(4-x12)(4-x22),即x12+x22=4,
①若x1=x2,則P、P1、Q、Q2分別是直線OA、OB與橢圓的交點(diǎn),
∴四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為:(√2,√62),(√2,-√62),(-√2,√62),(-√2,-√62),
∴四邊形PQP1Q1的面積為4√3;
②若x1≠x2,則直線PQ的方程可設(shè)為:y-y1=y2−y1x2−x1(x-x1),
化簡(jiǎn)得:(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0,
∴點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=|x1y2−x2y1|√(x2−x1)2+(y2−y1)2,
∴△OPQ的面積S=12PQ•d=12|x1y2-x2y1|
=12√x12y22−2x1x2y1y2+x22y12=12√3x12(1−x224)+32x12x22+3x22(1−x124)
=12√3(x12+x22)=12√3×4=√3.
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,故四邊形PQP1Q1的面積為4S,即為定值4√3.
綜上:四邊形PQP1Q1的面積為定值4√3.
點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離、三角形面積公式,韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查分類討論的思想,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于難題.
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A. | −π2 | B. | 12 | C. | −32 | D. | −12 |
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