Question

12．函數(shù)f（x）=2x-x$\sqrt{4-{x}^{2}}$的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 易知當-2≤x≤0時，f（x）≤0，當0≤x≤2時，f（x）≥0；從而簡化為f（x）的最大值在[0，2]上取得；再討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得．

解答 解：f（x）=2x-x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=x（2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$），
f（x）的定義域為[-2，2]，
當-2≤x≤0時，f（x）≤0，當0≤x≤2時，f（x）≥0；
故f（x）的最大值在[0，2]上取得；
y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[0，2]上是減函數(shù)，
故y=2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[0，2]上是增函數(shù)，
且2-$\sqrt{4-{x}^{2}}$≥0，
而y=x在[0，2]上是增函數(shù)且x≥0，
故f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
故f_max（x）=f（2）=4，
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．