Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則該漸近線與圓（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦長為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 求出一條漸近線方程為2x-y=0，圓（x+1）²+（y-2）²=4的圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為2，可得圓心到漸近線的距離，即可求出漸近線與圓（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦長．

解答 解：由題意，一條漸近線方程為2x-y=0，
圓（x+1）²+（y-2）²=4的圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為2，
∴圓心到漸近線的距離d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴漸近線與圓（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦長為2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線、圓的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是求得圓心到漸近線的距離．