Question

8．如圖，拋物線y=-x²+4交x軸于A，B兩點，頂點為C
（1）求△ABC的面積；
（2）在拋物線上求點P，使S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（3）拋物線y=-x²+4上是否存在點Q，使∠AQB=90°若存在，求出該點；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A，B，C的坐標，運用三角形的面積公式計算即可得到所求值；
（2）設P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，運用面積公式，計算即可得到P的坐標；
（3）假設拋物線y=-x²+4上存在點Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．即有k_AQ•k_BQ=-1，運用直線的斜率公式，解方程可得Q的坐標，即可判斷存在．

解答 解：（1）由題意可得A（2，0），B（-2，0），C（0，4），
則△ABC的面積為$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）設P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，可得：
$\frac{1}{2}$×4|4-m²|=$\frac{1}{2}$×8，
解得m=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{6}$，
即有P（±$\sqrt{2}$，2）或（±$\sqrt{6}$，-2）；
（3）假設拋物線y=-x²+4上存在點Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．
即有k_AQ•k_BQ=-1，
即為$\frac{4-{n}^{2}}{n-2}$•$\frac{4-{n}^{2}}{n+2}$=-1，
由n≠2，且n≠-2，可得4-n²=1，
解得n=±$\sqrt{3}$，
故存在Q，且Q（-$\sqrt{3}$，1），或（$\sqrt{3}$，1），使∠AQB=90°．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)及運用，考查三角形的面積的求法，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．