Question

19．若三個(gè)互不相等的正數(shù)x₁，x₂，x₃滿足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），且m₁，m₂，m₃三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則下列關(guān)系正確的是（　�。�

• A． x₁•x₃=x₂²
• B． x₁•x₃＜x₂²
• C． x₁•x₃＞x₂²
• D． x₁•x₃≥x₂²

Answer 1

分析 m₁，m₂，m₃三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可得：2m₂=m₁+m₃．根據(jù)三個(gè)互不相等的正數(shù)x₁，x₂，x₃滿足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），可得2（x₂+lnx₂）=x₁+lnx₁+x₃+lnx₃，利用基本不等式的性質(zhì)可得：2x₂+$ln{x}_{2}^{2}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$+ln（x₁x₃），再利用函數(shù)f（x）=x+lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：∵m₁，m₂，m₃三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，
∴2m₂=m₁+m₃，
∵三個(gè)互不相等的正數(shù)x₁，x₂，x₃滿足x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），
∴x₁+lnx₁=m₁，x₂+lnx₂=m₂，x₃+lnx₃=m₃，
∴2（x₂+lnx₂）=x₁+lnx₁+x₃+lnx₃，
∴2x₂+$ln{x}_{2}^{2}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$+ln（x₁x₃），
由于函數(shù)f（x）=x+lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2x₂＞2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{3}}$，可得${x}_{2}^{2}$＞x₁x₃．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性 不等式的性質(zhì)質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．