Question

9．關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c∈C且a≠0）有下列四個(gè)命題：①b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)等根；②b²-4ac＜0時(shí)，方程有兩個(gè)不等虛根；③當(dāng)方程有兩個(gè)不等虛根α、β時(shí)，|α|²=|β|²=αβ；④當(dāng)方程有兩個(gè)根α、β時(shí)，ax²+bx+c=a（x-α）（x-β），
其中正確命題的序號(hào)為①②③④．

Answer 1

分析 利用求根公式，在b²-4ac＜0時(shí)，利用復(fù)數(shù)的概念解題即可判斷①②正確；
根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念可判斷③正確，根據(jù)因式分解的意義可判斷④正確．

解答 解：①根據(jù)求根公式可知，當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)等根，故正確；
②b²-4ac＜0時(shí)，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，x=$\frac{-b±\sqrt{4ac-^{2}}i}{2a}$故方程有兩個(gè)不等虛根，故正確；
③當(dāng)方程有兩個(gè)不等虛根α、β時(shí)，由求根公式顯然能得出x=$\frac{-b±\sqrt{4ac-^{2}}i}{2a}$，根據(jù)模長(zhǎng)公式可得|α|²=|β|²=$\frac{c}{a}$=αβ，故正確；
④當(dāng)方程有兩個(gè)根α、β時(shí)，根據(jù)方程的定義和因式分解的意義可知，ax²+bx+c=a（x-α）（x-β）=0，可得兩個(gè)根α、β，故正確，
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 考查了求根公式的應(yīng)用和復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念．