Question

18．設(shè)F是拋物線C：y²=4x的焦點，P是C上一點，斜率為-l的直線l交C于不同兩點A，B（l不過P點），且△PAB重心的縱坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$．
（I）記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)直線l的方程為：y=-x+b，將它代入C：y²=4x得：x²-2（b+2）x+b²=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡可k₁+k₂的值；
（Ⅱ）表示出$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$，換元，利用基本不等式求最大值．

解答 解：（I）設(shè)直線l的方程為：y=-x+b，將它代入C：y²=4x得：x²-2（b+2）x+b²=0，
令A(yù)（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=2（b+2），x₁x₂=b²，y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2b=-4，…（3分）
因為△PAB重心的縱坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，所以y₁+y₂+y_P=-2，所以，y_P=2，x_P=1．
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（{x}_{2}-1）+（{y}_{2}-2）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{-2^{2}+2（b-1）（b+2）-2（b-2）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0
所以：k₁+k₂=0．            …（6分）
（Ⅱ）$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2（b+3）}{^{2}+2b+5}$，…（8分）
由△=16（b+1）＞0得b＞-1，又l不過P點，則b≠3．
令t=b+3，則t＞2且t≠6．
則$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{2t}{（t-3）^{2}+2（t-3）+5}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-4t+8}$=$\frac{2}{t+\frac{8}{t}-4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{8}-4}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
當(dāng)t=$\frac{8}{t}$，即t=2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3時，$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計算，考查韋達(dá)定理，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．