Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx+c，
（1）當(dāng)c=0時，f（x）在點P（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，求a，b的值；
（2）若f（x）在點A（-1，8），B（3，-24）處有極值，求f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f（1）=3，f′（1）=1聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）由f（x）在點A（-1，8），B（3，-24）處有極值，得到f′（-1）=f′（3）=0，結(jié)合f（1）=8求解a，b，c的值，驗證f（3）=-24得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)c=0時，f（x）=x³-2ax²+bx．
∴f′（x）=3x²-4ax+b．
依題意可得f（1）=3，f′（1）=1，
即

3-4a+b=1 1-2a+b=3

，解得

a=2 b=6

；
（2）由f（x）=x³-2ax²+bx+c，
得f′（x）=3x²-4ax+b．
令

f′(-1)=3+4a+b=0 f′(3)=27-12a+b=0

，解得

a= 3 2 b=-9

，
由f（-1）=-1-2a-b+c=8，a=

3

2

，b=-9，可得c=3．
∴f（x）=x³-3x²-9x+3．
檢驗知f（3）=3³-3×3²-9×3+3=-24符合題意．
∴f（x）=x³-3x²-9x+3．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，解答此題的關(guān)鍵是注意極值點處的導(dǎo)數(shù)等于0，是中檔題．