Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+x，其中a＞0
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤3x的解集為{x|x≥2}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可得|x-1|≥2，即 x-1≥2，或x-1≤-2，由此求得x的范圍．
（2）不等式即|x-a|≤2x，求得x≥$\frac{a}{3}$．再根據(jù)不等式f（x）≤3x的解集為{x|x≥2}，可得$\frac{a}{3}$=2，由此求得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥x+2，即|x-1|+x≥x+2，即|x-1|≥2，
∴x-1≥2，或x-1≤-2，求得 x≥3，或x≤-1，
故不等式f（x）≥x+2的解集為{x|x≥3，或x≤-1}．
（2）不等式f（x）≤3x，即|x-a|+x≤3x，即|x-a|≤2x，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{-2x≤x-a≤2x}\end{array}\right.$，求得x≥$\frac{a}{3}$．
再根據(jù)不等式f（x）≤3x的解集為{x|x≥2}，可得$\frac{a}{3}$=2，∴a=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．