Question

若函數(shù)f（x）=x³+3x對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x∈

（-2，

2

3

）

．

Answer 1

分析：先利用定義、導(dǎo)數(shù)分別判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化具體不等式，借助一次函數(shù)的性質(zhì)可得x的不等式組，解出可得答案．

解答：解：∵f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
又f'（x）=3x²+3＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，
f（mx-2）+f（x）＜0可化為f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）遞增知mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
∴對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
則

-2x+x-2＜0 2x+x-2＜0

，解得-2＜x＜

2

3

，
故答案為：（-2，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．