Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象是將y=2x²的圖象向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到的
①求y=f（x）的解析式；
②若f（x）＞ax²-2ax對(duì)任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用函數(shù)的平移變換可得f（x）=2（x-1）²+2；
②f（x）＞ax²-2ax對(duì)任意的x∈R恒成立?（2-a）x²-（4-2a）x+4＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，分2-a=0與2-a≠0討論，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：①y=2x²的圖象向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=2（x-1）²+2，即f（x）=2（x-1）²+2的圖象，
所以，y=f（x）的解析式為：f（x）=2（x-1）²+2；
②f（x）＞ax²-2ax對(duì)任意的x∈R恒成立?2（x-1）²+2＞ax²-2ax對(duì)任意的x∈R恒成立?（2-a）x²-（4-2a）x+4＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，
所以，當(dāng)a=2時(shí)，4＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，即a=2是所求的a的取值范圍中的一部分；
當(dāng)a≠2時(shí)，必有

2-a＞0 △=[-(4-2a)]2-4(2-a)×4＜0

，整理得

a＜2 a2＜4

，解得-2＜a＜2；
綜上所述，-2＜a≤2；
所以，a的取值范圍為（-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象變換，突出考查函數(shù)ax²+bx+c＞0恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．