Question

5．如圖，定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，27），B（0，3），一質(zhì)點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)，始終沿x軸的正方向運(yùn)動，已知第1分鐘內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)C運(yùn)動了1個單位，之后每分鐘內(nèi)比上一分鐘內(nèi)多運(yùn)動了2個單位，記第n分鐘內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動了a_n個單位，此時質(zhì)點(diǎn)的位置為（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n，C_n的表達(dá)式；并求數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}\}$的前n項和S_n．
（Ⅱ）當(dāng)n為何值時，tan∠AC_nB取得最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意{a_n}是等差數(shù)列，從而可得a_n=2n-1，C_n=$\frac{1+2n-1}{2}$•n=n²；化簡$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，從而利用裂項求和法求得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$tan∠A{C_n}O=\frac{27}{n^2}，tan∠B{C_n}O=\frac{3}{n^2}$，從而可得$tan∠A{C_n}B=tan（∠A{C_n}O-∠B{C_n}O）=\frac{24}{{{n^2}+\frac{81}{n^2}}}≤\frac{4}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，
a_n=2n-1，
C_n=$\frac{1+2n-1}{2}$•n=n²；
∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
$tan∠A{C_n}O=\frac{27}{n^2}，tan∠B{C_n}O=\frac{3}{n^2}$，
$tan∠A{C_n}B=tan（∠A{C_n}O-∠B{C_n}O）=\frac{24}{{{n^2}+\frac{81}{n^2}}}≤\frac{4}{3}$；
（當(dāng)且僅當(dāng)n=3時取等號）；
即當(dāng)n=3時，tan∠AC_nB取得最大為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時考查了裂項求和法的應(yīng)用及兩角差的正切公式的應(yīng)用．