Question

16．若橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂ 斜率為k（k≠0的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF₂ 的斜率為k′，求證：k•k′為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出；
（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂ （1，0）斜率為k（k≠0）的直線l方程為：y=k（x-1），設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，直線AE的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，直線AF的方程為：$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，令x=3，可得點(diǎn)M，N，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P，可得直線PF₂的斜率k′=$\frac{1}{4}$•$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=4，b²=3，c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂ （1，0）斜率為k（k≠0）的直線l方程為：y=k（x-1），
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由題意△＞0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
直線AE的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，直線AF的方程為：$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，
令x=3，可得點(diǎn)M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$，N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，
∴P$（3，\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}））$，
∴直線PF₂的斜率k′=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）-0}{3-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$=$\frac{1}{4}$$•\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，
把${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入可得k′=-$\frac{3}{4k}$，
∴k′•k=-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．