Question

5．如圖$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線，P點(diǎn)在AB上，求證：存在實數(shù)λ，μ且λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$．思考：有本題你想到了什么？（用向量證明三點(diǎn)共線）

Answer 1

分析 根據(jù)條件三點(diǎn)A，B，P共線，從而存在實數(shù)k，使得$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$，從而可得到$\overrightarrow{OP}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$，只需令λ=1-k，μ=k，便可得到$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，并且滿足λ+μ=1，這樣即可得出要證的結(jié)論．

解答 證明：∵A，B，P三點(diǎn)共線；
∴存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$；
令λ=1-k，μ=k；
∴$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1；
∴存在實數(shù)λ，μ且λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
由本題想到：若存在實數(shù)λ，μ，λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，則A，B，P三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 考查共線向量基本定理，向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算，并且能夠看出，證明過程逆回去便得到三點(diǎn)共線，這便是用向量證明三點(diǎn)共線的方法．