Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+cos（$\frac{π}{2}$-2x），則函數(shù)f（x）的最小正周期是π，值域是[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，利用三角函數(shù)周期公式可求最小正周期，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，從而可求f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=2cos²x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）
=1+cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1∈[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．
故答案為：π，[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．