Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-1，且 4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_2n}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{a_2n-1}的各項(xiàng)和為S，若不等式Tn＜k•S對(duì)于一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出a₂，再由數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，分別求得數(shù)列{a_2n}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{a_2n-1}的各項(xiàng)和為S，再求

Tn

S

，判斷單調(diào)性，求出最大值即可得到．

解答： 解：（1）由于4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），
則n=1時(shí)，4a₂+2a₁=-1，解得，a₂=

1

4

，
n＞1時(shí)，4a_n+2S_n-1=-1，又4a_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），
兩式相減，得，4a_n+1-4a_n+2S_n-2S_n-1=0，即有a_n+1=

1

2

a_n，
則a_n=a₂•（

1

2

）^n-2=

1

4

•（

1

2

）^n-2=（

1

2

）ⁿ，（n＞1），
即有a_n=

-1，n=1 ( 1 2 )n，n＞1

；
（2）數(shù)列{a_2n}的前n項(xiàng)和為T_n=a₂+a₄+…+a_2n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)，
數(shù)列{a_2n-1}的各項(xiàng)和為S=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=-

3

2

+

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=-

3

2

+

2

3

(1-

1

4n

)
不等式T_n＜k•S即為k＞

Tn

S

=

1 3 m

- 3 2 + 2 3 m

=

1 3

- 3 2m + 2 3

（m=1-

1

4n

），
易得m是n的遞增數(shù)列，

1 3

- 3 2m + 2 3

是遞減數(shù)列，
則當(dāng)n=1時(shí)，取得最大值

1 3

- 3 2× 3 4 + 2 3

=-

1

4

，
由于不等式T_n＜k•S對(duì)于一切自然數(shù)n都成立，
則k＞-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性及運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．