Question

已知OBCD是平行四邊形，|OB|=1，|OD|=2，∠BOD=60°，動(dòng)直線x=t由向右平移，分別交平行四邊形兩邊于不同的兩點(diǎn)M，N（如圖1）．
（1）寫出△OMN的面積S關(guān)于t的表達(dá)式S（t）；
（2）畫出S（t）的圖象（在圖2中）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以先求出點(diǎn)B、D、C求出直線OD、DC、BC的方程，再根據(jù)t的大小，分類討論，確定點(diǎn)M、N的位置，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而得到求出△OMN的面積S關(guān)于t的函數(shù)；（2）由（1）的結(jié)論，分段畫出函數(shù)S（t）的圖象，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵四邊形OBCD是平行四邊形，|OB|=1，|OD|=2，∠BOD=60°，
∴D（1，

3

），B（1，0），C（2，

3

）．
∴線段OD的方程為：y=

3

x，x∈[0，1]，
線段BC的方程為：y=

3

x-

3

，x∈[1，2]，
∵動(dòng)直線x=t由向右平移，分別交平行四邊形兩邊于不同的兩點(diǎn)M，N，
∴當(dāng)0＜t≤1時(shí)，直線與OB、OD相交，M（t，

3

t），N（t，0），
△OMN的面積S關(guān)于t的表達(dá)式S（t）=

1

2

×

3

t×t=

3

2

t2；
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，直線與DC、BC相交，M（t，

3

），N（t，

3

t-

3

），
△OMN的面積S關(guān)于t的表達(dá)式S（t）=

1

2

×t×(

3

-

3

t+

3

)=

3

2

(-t2+2t)．
∴S（t）=

3 2 t2，t∈(0，1] 3 2 (-t2+2t)，t∈(1，2)

．
（2）函數(shù)S（t）的圖象如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．