Question

2．設(shè)P：方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線；q：函數(shù)g（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$x）+6，在R上有極值點，求使“p且q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p，方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線則（2m-1）（m+2）＜0，求得m．
命題q：函數(shù)g（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R上有極值點，可根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）及二次函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法，得到命題p與命題q對應(yīng)的參數(shù)a的取值范圍，即可得到答案．

解答 解：當(dāng)命題p為真時，方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線，則（2m-1）（m+2）＜0，
解得-2＜m＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)命題q為真時：g′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$，△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）＞0∴m²-3m-4＞0
故m＞4或m＜-1．
∵“p∧q”為真命題，∴p，q同時為真命題．
$\left\{\begin{array}{l}{m＞4或m＜-1}\\{-2＜m＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$⇒-2＜m＜-1

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的真假關(guān)系，屬于中檔題．