Question

13．已知$2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=0$．
（1）求tanx；
（2）求$\frac{cos2x}{{\sqrt{2}cos（{\frac{π}{4}+x}）sinx}}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出半角的正切函數(shù)值，利用二倍角公式求解即可．
（2）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，利用（1）的結(jié)果求解即可．

解答 解：（1）由題意可得：$2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=0$，∴$tan\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$tanx=\frac{{2tan\frac{x}{2}}}{{1-ta{n^2}\frac{x}{2}}}=\frac{{2×\frac{1}{2}}}{{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}=\frac{4}{3}$．----------------（5分）
（2）$\frac{cos2x}{{\sqrt{2}cos（{\frac{π}{4}+x}）sinx}}$=$\frac{{co{s^2}x-si{n^2}x}}{{（{cosx-sinx}）sinx}}$=$\frac{{co{s^2}x-si{n^2}x}}{{cosxsinx-si{n^2}x}}$=$\frac{{1-ta{n^2}x}}{{tanx-ta{n^2}x}}$=$\frac{{1-{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}}{{\frac{4}{3}-{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}}$=$\frac{7}{4}$．----------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．