Question

4．設a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx，則（2x+$\frac{a}{x}$）⁶展開式的常數(shù)項為160．

Answer 1

分析 由微積分基本定理可得a，再利用二項式定理的展開式的通項公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=$（-cosx）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1，
則（2x+$\frac{a}{x}$）⁶=$（2x+\frac{1}{x}）^{6}$的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（2x）^{6-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r${∁}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3．
∴展開式的常數(shù)項為：2³${∁}_{6}^{3}$=160．
故答案為：160．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的展開式的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．