Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{x+1}$+$\frac{1}{2}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 要求函數(shù)的最大值，可得x≥1．可設(shè)$\sqrt{x}$-1=t（t≥0），即x=（1+t）²，將函數(shù)化為t的函數(shù)，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：要求函數(shù)的最大值，可得x≥1．
可設(shè)$\sqrt{x}$-1=t（t≥0），即x=（1+t）²，
則函數(shù)為y=$\frac{t}{（1+t）^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+2}$+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{2}{t}}+2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{2}$即x=3+2$\sqrt{2}$時(shí)，取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和基本不等式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．