設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
13
（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）記cn=nanbn（n=1，2，…），求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．
分析：（1）由an=
1
3
(an-1-an-2)得an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)（n≥3），所以an+1-an=(-
2
3
)n-1，再用累加法求出an，再由n的奇偶性進(jìn)行討論知bn．
（2）cn=nanbn=
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
，再由n的奇偶性分別計算數(shù)列{cn}的前n項和Sn．
解答：解：（1）由an=
1
3
(an-1-an-2)得an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)（n≥3）
又a2-a1=1≠0，
∴數(shù)列{an+1-an}是首項為1公比為-
2
3
的等比數(shù)列，an+1-an=(-
2
3
)n-1
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）
=1+1+(-
2
3
)+(-
2
3
)2+…+(-
2
3
)n-2
=1+
1-(-
2
3
)n-1
1+
2
3
=
8
5
-
3
5
(-
2
3
)n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為偶數(shù)時
由
-1≤b1+b2≤1
-1≤b2≤1
b2∈Z，b2≠0

得b2=-1，
由
-1≤b2+b3≤1
-1≤b3≤1
b3∈Z，b3≠0

得b3=1，
同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時，bn=-1；當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=1；
因此bn=
1，n為奇數(shù)
-1，n為偶數(shù)
．
（2）cn=nanbn=
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1

Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+…+
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3+…+n(
2
3
)n-1]=
4(n+1)
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3+…+n(
2
3
)n-1]
當(dāng)n為偶數(shù)時
Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+-
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3+…+n(
2
3
)n-1]=-
4n
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3+…+n(
2
3
)n-1]
令Tn=1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3+…+n(
2
3
)n-1①
①×
2
3
得：
2
3
Tn=1×(
2
3
)1+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+4×(
2
3
)4+…+n(
2
3
)n②
①-②得：
1
3
Tn=1+(
2
3
)1+(
2
3
)2+(
2
3
)3+(
2
3
)4+…+(
2
3
)n-1-n(
2
3
)n=
1-(
2
3
)n
1-
2
3
-n(
2
3
)n=3-(3+n)(
2
3
)n
∴Tn=9-(9+3n)(
2
3
)n
當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為偶數(shù)時
因此Sn=
4n-23
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
-
4n+27
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用，尤其是在求值時要重視對n的奇偶性的討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列cn：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時
，則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項公式及前20項和S20．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數(shù)f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為（　�。�
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　　）

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