Question

己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線過點F（1，0），求線段MN的長；
（Ⅲ）若直線l過點（m，0），且以MN為直徑的圓恰過原點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，求出c，a，從而可得b的值，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）題意，直線l的方程為：y=x-1，代入橢圓方程，可得7x²-8x-8=0，利用弦長公式，即可求線段MN的長；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=x-m，代入橢圓方程，消去y，整理得7x²-8mx+4m²-12=0，以MN為直徑的圓恰過原點，可得OM⊥ON，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：c=1，a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                            （4分）
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為：y=x-1，代入橢圓方程，可得7x²-8x-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|MN|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

2

•

( 8 7 )2+4• 8 7

=

24

7

．             （6分）
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=x-m，代入橢圓方程，消去y，整理得7x²-8mx+4m²-12=0．
∵直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，
∴△=64m²-4×7（4m²-12）＞0
解得：-

7

＜m＜

7

設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

m，x₁x₂=

4m2-12

7

，
∴y₁y₂=

3m2-12

7

，
∵以線段MN為直徑的圓恰好過原點，所以O(shè)M⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

4m2-12

7

+

3m2-12

7

=0
解得m=±

2 42

7

．
∴所求直線l的方程為y=x±

2 42

7

．                              （10分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．