Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線AB交拋物線于A、B，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別將A，B代入拋物線方程，用點(diǎn)差法能求出AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y12=4x1，y22=4x2，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴(y1+y2)•

y1-y2

x1 -x2

=4，x₁≠x₂，
設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），
則y₁+y₂=2y，
∵直線AB過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∴

y1-y2

x1-x2

=

y-0

x-1

，
∴2y•

y

x-1

=4，整理，得y²=2（x-1），
當(dāng)x₁=x₂時，M（1，0）滿足上式，
∴AB中點(diǎn)M的軌跡方程為y²=2（x-1）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線內(nèi)過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要注意點(diǎn)差法的靈活運(yùn)用．