Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右焦點到直線l：3x+4y=0的距離為

3

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線m：y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求當△AOB面積最大時，
直線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的右焦點到直線l：3x+4y=0的距離為

3

5

，求出c，利用橢圓的離心率為

1

2

，求出a，利用b²=a²-c²，求出b，即可得出橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線m：y=kx+1代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理，計算設出|AB|，求出O到直線的距離，可得△AOB面積，利用基本不等式求出最大值，即可求直線m的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵右焦點到直線l：3x+4y=0的距離為

3

5

，
∴

3c

5

=

3

5

，
∴c=1，
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）直線m：y=kx+1代入橢圓方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kx-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k

3+4k2

，x₁x₂=-

8

3+4k2

∴|x₁-x₂|=

(- 8k 3+4k2 )2-4•(- 8 3+4k2 )

∴|AB|=4

6

1+k2

2k2+1

3+4k2

，
∵O到直線的距離為d=

1

1+k2

，
∴S△AOB=2

6

1

2 2k2+1 + 1 2k2+1

≤2

6

•

1

2 2

=

3

，當k=0時有最大值．
∴直線m的方程為：y=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．