Question

9．已知函數(shù)f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，點(diǎn)P為曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線l上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在曲線$y=\frac{x}{e^x}$上，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令x=0，可得切線l的斜率和切點(diǎn)，切線方程l，再求$y=\frac{x}{e^x}$導(dǎo)數(shù)，由過Q的切線與切線l平行時(shí)，距離最短．求得切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=-f'（0）e^x+2x+3，
可得f′（x）=-f'（0）e^x+2，
即有f′（0）=-f'（0）e⁰+2，
解得f′（0）=1，
則f（x）=-e^x+2x+3，
f（0）=-e⁰+0+3=2，
則切線l：y=x+2，
$y=\frac{x}{e^x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
過Q的切線與切線l平行時(shí)，距離最短．
由$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=1，即e^x=1-x，
由y=e^x，y=1-x的圖象可得x=0，
即切點(diǎn)Q（0，0），
則Q到切線l的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)用，運(yùn)算能力，屬于中檔題．