Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=-20，且對任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（Ⅰ）求a₃，a₅；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），證明：{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求正整數(shù)k，使得對任意n∈N^*均有s_k≤s_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1賦值即可．
（Ⅱ）以n+2代替m，然后利用配湊得到b_n+1-b_n，和等差數(shù)列的定義即可證明．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=8n-2，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（Ⅱ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差為8的等差數(shù)列
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=8n-2，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，
∵正整數(shù)k，使得對任意n∈N^*均有s_k≤s_n．
∴k=1．

點(diǎn)評：本小題是中檔題，主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．同時(shí)考查了等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，和數(shù)列求和的方法．