Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx（a為參數(shù)）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=

ax-1

x2

，定義域?yàn)椋?，+∞），得當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

x-1

x2

，令f′（x）=0得x=1，從而求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）f′（x）=

ax-1

x2

，分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)x=

1

a

＞0，即a＞0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax-1

x2

，定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

x-1

x2

，令f′（x）=0得x=1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）f′（x）=

ax-1

x2

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（e）=

1

e

+a，
②當(dāng)x=

1

a

＞0，即a＞0時(shí)，
令f′（x）=0，解得：x=

1

a

，
（�。┤鬳≤

1

a

，即a≤

1

e

時(shí)，則f′（x）≤0對(duì)x∈（0，e）成立，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（e）=

1

e

+a，
（ⅱ）若0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）單調(diào)遞減，在（

1

a

，e）單調(diào)遞增，在x=

1

a

處有極小值．
所以f（x）在區(qū)間（0，e）上的最小值為f（

1

a

）=a+aln

1

a

，
綜上，得f（x）min=

f(e)= 1 e +a，     (a≤ 1 e ) f( 1 a )=a+aln 1 a ，(a＞ 1 e )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．