Question

2．如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的內(nèi)切球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}π$
• B． 3π
• C． 4π
• D． $\frac{4}{3}π$

Answer 1

分析 球心到棱錐各表面的距離等于球的半徑，求出棱錐的各面面積，使用體積法求出內(nèi)切球半徑．

解答 解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，作出直觀圖如圖所示：
其中SA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為3的正方形，SA=4．
∴SB=SD=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∴S_△SAB=S_△SAD=$\frac{1}{2}×3×4=6$，S_△SBC=S_△SCD=$\frac{1}{2}×3×5=7.5$．S_底面=3²=9．
V_棱錐=$\frac{1}{3}×{S}_{底面}×SA$=12．S_表面積=6×2+7.5×2+9=36．
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則球心到棱錐各面的距離均為r．
∴$\frac{1}{3}$S_表面積•r=V_棱錐．∴r=1．
∴內(nèi)切球的表面積為4πr²=4π．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查多面體的內(nèi)切球的運(yùn)算，解題時(shí)注意體積法的應(yīng)用．