Question

7．橢圓mx²+ny²=1（m＞0，n＞0．m≠n）與直線x+y=1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2$\sqrt{2}$，AB的中點(diǎn)與橢圓中心線的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則橢圓方程為（　�。�

• A． 3x²$+\frac{\sqrt{2}}{3}{y}^{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$$+\frac{\sqrt{2}}{3}$y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$$+\sqrt{2}$y²=1
• D． x²$+\sqrt{2}$y²=1

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點(diǎn)差法得m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，設(shè)C（x₀，y₀），得n=$\sqrt{2}$m，橢圓mx²+$\sqrt{2}$my²=1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m{x}^{2}+\sqrt{2}m{y}^{2}=1}\\{y=1-x}\end{array}\right.$，得（$\sqrt{2}$+1）mx²-2$\sqrt{2}$mx+$\sqrt{2}$m-1=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和橢圓弦長公式能求出m，n的值，即可得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：
mx₁²+ny₁²=1，
mx₂²+ny₂²=1，
兩式相減得：
m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
設(shè)AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），
即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2{x}_{0}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2{y}_{0}}\end{array}\right.$，
mx₀+ny₀•$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=0，
∴mx₀+ny₀k_AC=0，
m=-$\frac{n{y}_{0}}{{x}_{0}}$•k_AC=-n•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，
即n=$\sqrt{2}$m，
∴橢圓mx²+$\sqrt{2}$my²=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m{x}^{2}+\sqrt{2}m{y}^{2}=1}\\{y=1-x}\end{array}\right.$，得（$\sqrt{2}$+1）mx²-2$\sqrt{2}$mx+$\sqrt{2}$m-1=0，
x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{\sqrt{2}m-1}{（\sqrt{2}+1）m}$，
|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}）^{2}-\frac{4（\sqrt{2}m-1）}{（\sqrt{2}+1）m}}$=2$\sqrt{2}$，
解得m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}$=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法和橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．