Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＜t}\\{{x}^{2}-6x+10，x≥t}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若?t∈（2，3），?y₀∈R，使得f（x）=y₀有三個不等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）∪（1，3]
• B． （0，1）∪（1，3）
• C． （0，1）∪（2，+∞）
• D． （0，1）∪（1，2]

Answer 1

分析 當(dāng)x≥t時，f（x）=x²-6x+10，其對稱軸為x=3，?t∈（2，3），f（x）_min=1，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有二個不等的實根，問題轉(zhuǎn)化為存在f（x）=log_ax≥1即可，分類討論即可求出答案．

解答 解：當(dāng)x≥t時，f（x）=x²-6x+10，其對稱軸為x=3，?t∈（2，3），f（x）_min=f（3）=9-18+10=1，
?y₀∈R，使得f（x）=y₀有二個不等的實根，
∵?t∈（2，3），?y₀∈R，使得f（x）=y₀有三個不等的實根，
∴f（x）=log_ax為減函數(shù)，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有一個實根，
當(dāng)0＜x＜t時，f（x）=log_ax，
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=log_ax為減函數(shù)，?y₀∈R，使得f（x）=y₀有一個實根，
當(dāng)a＞1時，f（x）=log_ax為增函數(shù)，f（x）＜log_at，
∴l(xiāng)og_at＜1，
解得a¹＜t＜3，
∴1＜a＜3，
綜上所述a的取值范圍為（0，1）∪（1，3），
故選：B

點評 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，需要分類討論，屬于中檔題．