Question

【題目】如圖，為橢圓的左右焦點，是橢圓的兩個頂點，，，若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”.直線與橢圓交于兩點，兩點的“橢點”分別為，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）試探討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值1.

【解析】

試題分析：（1）要求橢圓標準方程，一般要找到兩個關于的等式，由橢圓的幾何性質(zhì)，題中兩個線段長正好提供了兩個等式，一個，即為，，即為，再由，可得值；（2）本小題是定值問題的研究，首先設，，寫出“橢圓點”坐標，.由已知可得它們的關系：.接著考慮直線，分類討論斜率不存在，以及斜率存在兩種情形，對斜率不存在的特殊情形可直接求出點坐標，對斜率存在時，可設方程為，代入橢圓方程后可得，從而得，代入得的關系式，此時可驗證下判別式，由直線與橢圓相交的弦長公式求得，由點到直線距離公式可求得上的高，從而求得．

試題解析：（1）由題可得解得，故橢圓的標準方程為.

（2）設，，則，.由，即.（*）

①當直線的斜率不存在時，.

②當直線的斜率存在時，設其直線為，聯(lián)立得

，則，，同理，代入（*），整理得，此時，，∴.

綜上，的面積為定值1.