Question

已知A、B是橢

x2

2

+y²=1上的兩點，且

AF

=λ

FB

，其中F為橢圓的右焦點．
（1）當λ=2時，求直線AB的方程；
（2）設(shè)M（

5

4

，0），求證：當實數(shù)λ變化時

MA

•

MB

恒為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線AB過橢圓右焦點F（1，0），設(shè)AB：x=my+1，代入橢圓方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能求出直線AB的方程．
（2）由已知條件推導出

MA

•

MB

=(x1-

5

4

)(x2-

5

4

)+y1y2=(my1-

1

4

)(my2-

1

4

)+y1y2=-

7

16

．由此證明當實數(shù)λ變化時

MA

•

MB

恒為定值．

解答： （1）解：由已知條件知，直線AB過橢圓右焦點F（1，0）．
又直線AB不與x軸重合時，
設(shè)AB：x=my+1，代入橢圓方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=

-2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
又由

AF

=2

FB

，得-y₁=2y₂，
所以y1=

-4m

2+m2

，y2=

2m

2+m2

．
于是

-8m2

(2+m2)2

=

-1

2+m2

，解之得m=±

14

7

．
故直線AB的方程為x±

14

7

y-1=0．（7分）
（2）證明：

MA

•

MB

=(x1-

5

4

)(x2-

5

4

)+y1y2=(my1-

1

4

)(my2-

1

4

)+y1y2
=(1+m2)y1y2-

m

4

(y1+y2)+

1

16

=-

1+m2

2+m2

+

m2

2(2+m2)

+

1

16

=

-16(1+m2)+8m2+(2+m2)

16(2+m2)

=

-14-7m2

16(2+m2)

=-

7

16

為定值．
經(jīng)檢驗，當AB與x軸重合時也成立，
∴當實數(shù)λ變化時

MA

•

MB

恒為定值．（13分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．