Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面PAF⊥平面PFD
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求直線AD與平面PFD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證平面PAF⊥平面PFD，只要證平面PDF經(jīng)過平面PAF的一條垂線DF即可，由已知PA⊥平面ABCD得到PA⊥DF，再通過解三角形得到AF⊥DF，由線面垂直的判斷得到DF⊥面PAF，則問題得到證明；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PFD的一個(gè)法向量，由向量

AD

與平面法向量所成角的余弦值得到直線AD與平面PFD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，

連接AF，則AF=

2

，DF=

2

，
又∵AD=2，
∴AF²+DF²=AD²，
∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴DF⊥PA，
又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又DF?平面PDF，
∴平面PAF⊥平面PDF；
（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），P（0，0，1），D（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），
∴

PD

=(0，2，-1)，

FD

=(-1，1，0)，
設(shè)平面PFD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

PD

⊥

n

，

FD

⊥

n

，
∴

2y-z=0 -x+y=0

，取z=2，得x=1，y=1，
∴

n

=(1，1，2)，
又

AD

=(0，2，0)，
∴cos＜

AD

，

n

＞=

2

6 ×2

=

6

6

．
∴直線AD與平面PFD所成的角的正弦值為

6

6

．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的判斷，考查了利用空間向量求直線和平面所成的角，平面的一條斜線上的向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值，等于斜線與平面所成角的正弦值，是中檔題．