【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時f(x)=2x﹣x2 ,
(1)求f(x)的表達式;
(2)設0<a<b,當x∈[a,b]時,f(x)的值域為 ,求a,b的值.

【答案】
(1)解:設x<0,可得﹣x>0,

∵當x≥0時f(x)=2x﹣x2,

∴f(﹣x)=﹣2x﹣(﹣x)2=﹣2x﹣x2

∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x),

∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣2x﹣x2,

∴f(x)=x2+2x

∴f(x)=


(2)解:∵0<a<b,當x∈[a,b]時,當x≥0時f(x)=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1

f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù),

若0<a<b<1,可得值域為[2a﹣a2,2b﹣b2],

f(x)的值域為 ,∴ 解得a=b=1,(舍去)

若1<a<b,可得值域為[2b﹣b2,2a﹣a2],f(x)的值域為 ,

,解得a=b=1,

若0<a≤1≤b,可得x=1處取得最大值,f(x)max=f(1)=2﹣1=1,

最小值在x=a或x=b處取得,

∵當x∈[a,b]時,f(x)的值域為 ,

=1,可得a=1,

=2a﹣a2,可得b=1(舍去);

=2b﹣b2,化簡得(b﹣1)(b2﹣b﹣1)=0解得b1= ,b2= (舍去),

∴a=1,b=


【解析】(1)由題意設x<0,得﹣x>0利用已知的解析式求出f(﹣x)=﹣x2﹣2x,再由f(x)=﹣f(﹣x),求出f(x)時的解析式.(2)因為0<a<b,利用配方法,可以證明f(x)在x>0時的單調(diào)性,需要分類討論,再對其進行求解;
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+ cos(x+θ), ,且函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則θ的值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=ln(3﹣x)(x+1)的定義域為(
A.[﹣1,3]
B.(﹣1,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費用x(萬元)

4

2

3

5

銷售額y(萬元)

49

26

39

54

根據(jù)上表可得回歸方程 = x+ 為9.4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為(
A.63.6萬元
B.65.5萬元
C.67.7萬元
D.72.0萬元

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ ]上的最小值并求當f(x)取最小值時,x的取值集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9
(1)求{an}的通項公式;
(2)這個數(shù)列的前多少項的和最大?并求出這個最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2016622 日,“國際教育信息化大會在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15-75歲之間的100人進行調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為9: 11.

1根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“中老年比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會;

2現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進行問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進行面對面詢問,記選取的3人中關(guān)注“國際教育信息化大會”的人數(shù)為的分布列及數(shù)學期望.

:參考公式,其中.

臨界值表:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如表:

ωx+φ

0

π

x

Asin(ωx+φ)

0

5

﹣5

0


(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,填寫在相應位置,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為( ,0),求θ的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(2x)=x2﹣2ax+3
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式
(2)若函數(shù)y=f(x)在[ ,8]上的最小值為﹣1,求a的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案