Question

11．若關(guān)于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{sinx=msi{n}^{3}y}\\{cosx=mco{s}^{3}y}\end{array}\right.$有實數(shù)解，則正實數(shù)m的取值范圍為[1，2]．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方求和，可得${m}^{2}（1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2y）=1$，進一步得到$si{n}^{2}2y=\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{m}^{2}}）$，再由三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組求解．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{sinx=msi{n}^{3}y}\\{cosx=mco{s}^{3}y}\end{array}\right.$，
兩式平方相加得：m²（sin⁶y+cos⁶y）=1，
即m²（sin²y+cos²y）（sin⁴y-sin²ycos²y+cos⁴y）=1，
∴m²[（sin²y+cos²y）²-3sin²ycos²y]=1，
則${m}^{2}（1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2y）=1$，
∴$si{n}^{2}2y=\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{m}^{2}}）$，
由0$≤\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{m}^{2}}）≤1$，解得：-2≤m≤-1或1≤m≤2．
∵m＞0，∴1≤m≤2．
故答案為：[1，2]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的有界性，訓(xùn)練了分式不等式組的解法，是中檔題．