Question

20．已知數列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2），（n≥3），其中a₁=1，a₂=2，求通項．

Answer 1

分析 通過對a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2）（n≥3）變形可構造首項為1、公比為-$\frac{2}{3}$的等比數列{a_n-1-a_n-2}，進而利用累加法求和即得結論．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1+2a_n-2）（n≥3），
∴a_n-a_n-1=-$\frac{2}{3}$（a_n-1-a_n-2），
又∵a₁=1，a₂=2，
∴數列{a_n-1-a_n-2}是首項為1、公比為-$\frac{2}{3}$的等比數列，
∴a_n-a_n-1=$（-\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴當n≥3時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=$（-\frac{2}{3}）^{n-2}$+$（-\frac{2}{3}）^{n-3}$+…+$（-\frac{2}{3}）^{1}$+$（-\frac{2}{3}）^{0}$+1
=$\frac{1-（-\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-（-\frac{2}{3}）}$+1
=$\frac{8}{5}$-$\frac{3}{5}$$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$，
又∵a₁=1，a₂=2滿足上式，
∴通項公式a_n=$\frac{8}{5}$-$\frac{3}{5}$$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$．

點評 本題考查數列的通項，考查累加法求和，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．