Question

1．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N^*都有S${\;}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}$=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}$=n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}=\frac{1}{2}$，①
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$，解得${a}_{1}=\frac{1}{3}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}=\frac{1}{2}$，②
①-②得${a}_{n}+\frac{1}{2}{a}_{n}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}=0$，化為${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$，首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$，
（2 ）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}$=n，
∴a_n+b_n=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．